Resolviendo un ejercicio de Números complejos con maple

Acabo de resolver un ejercicio de números complejos enteramente en maple, para mi fue un desafío, pero la creatividad lo supera todo, sin que suene esto a presunción jeje..

Es un ejercicio que me llegó hace poco de una alumna de la USAT - Chiclayo - Perú

Bueno aqui lo tienen (dejo el link de mi web original por si no les carga los gráficos aqui):

 MATEMATICA PARA INGENIEROS

Ingeniería Industrial

Ejerc 2 - d) [pag 2]

Describir y construir la gráfica del lugar representado por cada una de las ecuaciones    .  (   es un número complejo)

Solución

        ,   

-> 

-> 

->   

Analizando esta ecuación notamos que es parecida a la ecuación de una hipérbola  pero le falta el valor absoluto  aplicado a la diferencia de las ráices cuadradas que vemos en el lado derecho. Es decir, para que sea una verdadera hipérbola debe decir:

  

Entonces recordemos la siguiente propiedad:

    <=>       o     

Entonces:

  <=>        o   

o sea:

    <=>        o    

Por tanto una hipérbola : 

es la reunión de las ecuaciones:

    ... (1)

    ... (2)

Note que las ecuaciones (1) y (2) se diferencian por el orden de la resta: una es de la forma   y la otra es de la forma  .

De hecho (1) y (2) representan las 2 hojas de una hipérbola , y como la expresión que cambia es   con  , entonces es una hipérbola que se abre en dirección del eje   ( horizontalmente ) por lo que el gráfico debe presentar una hoja a la izquierda del centro (0,0) y una hoja a la derecha de dicho centro.

Determinemos a cual de las hojas representa la ecuación de este ejercicio:   

Recordemos la fórmula de la distancia entre dos puntos P  y Q  del plano cartesiano   :

siendo:

      y      

Ahora la ecuación:

puede ser escrita como:

y de aquí deducimos las coordenadas de los focos:

=>        ;       ;

            ;      

El Centro de la hipérbola es:   =   es el centro de la hipérbola y lo obtenemos de la fórmula:

  =   =   = 

además:   = 

por tanto  .

En el lado derecho de la igualdad tenemos la constante 4, entonces:

   =>     ;

La fórmula para los vértices de la hipérbola es:

->     ;      ; donde: C =  ;

->     ;       es decir:

->     ;       y reemplazando a:

    ;      

Ahora razonemos. Debemos decidir cuál de las hojas de la hipérbola es la que describe la ecuación de este problema, la hoja izquierda o la hoja derecha (ya que estamos tratando con una hiperbola con eje focal paralelo al eje x ).

   

Para ello reemplazamos los puntos    y      en la ecuación del problema, como esos puntos están en hojas opuestas, solo el punto que verifique la ecuación nos dirá en que lado se encuentra la hoja de la hipérbola.

En efecto:

-> Para   se tiene, en la ecuación de este problema, lo siguiente:

   lo cual es correcto (si verifica) .

-> Para   se tiene:

                   lo cual es falso (no verifica) .

Por tanto solo el vértice    pertenece a la hipérbola

y como éste punto está a la izquierda del centro   , la ecuación   describe únicamente a la hoja izquierda de la hipérbola.

Ahora solo nos falta saber cuál es el semieje b y así poder dibujar el rectángulo que contine a las asíntotas de la cónica.

Hallando el semieje b ,    para ello usamos la fórmula pitag´´orica para las hoiperbolas:

     

-> 

-> 

->    = 2.2  aprox

Los puntos extremos del semieje b  son:

   ;   ;   =   es decir:

->      ;   ;

->      ;   ;

->      ;   

Ahora grafiquemos los puntos:

  ;    

>	with(plots): pointplot({[3,0],[-3,0]},color=red,symbol=box,scaling=constrained);

>

focos:=%:

Ahora grafiquemos el rectángulo que pasa por los puntos:

        ;   

    ;   

>	pointplot({[-2,0],[2,0],[0,-sqrt(5)],[0,sqrt(5)]},symbol=box,color=blue,scaling=constrained);

>	vertices:=%:

El rectángulo que pasa por los puntos   ,   ,   , 

>	implicitplot({x=-2,x=2,y=-sqrt(5),y=sqrt(5)},x=-4..4,y=-4..4,color=green,scaling=constrained);

>	rectangulo:=%:

De la teoría de Hiperbolas deducimos que las asíntotas pasan por (  ) y por (  ) y tambien por el centro de la hiperbola (  )

>

Es decir la asíntotas tienen ecuación:

 :     (  )   ;    :     (  )  

 :      ;     :      o sea:

Si las graficamos tenemos:

>	implicitplot({y = -sqrt(5)*x/2,y = sqrt(5)*x/2},x=-4..4,y=-4..4,color=red,scaling=constrained);

>	asintotas:=%:

Finalmente graficamos la hoja de hipérbola dada por la ecuación de este problema:

>	implicitplot(sqrt((x-3)^2+y^2)-sqrt((x+3)^2+y^2) = 4,x=-4..4,y=-4..4,color=magenta,scaling=constrained,thickness=2);

>	hiperbola:=%:

Lo cual como habíamos deducido era solo la hoja izquierda.

Ahora pondremos todos los gráficos en un solo plano xy, supuestamente todo debería encajar.

En efecto:

>	display(focos,vertices,rectangulo,asintotas,hiperbola);

Aqui los focos y las asíntotas están en rojo, los vértices    ;       y los del semieje b  :   ;   está obviamente en azul, el rectánglo en verde y la hiperbola (la hoja izquierda) en magenta (fucsia).

RESPUESTA:

La ecuación    describe una hoja de hiperbola con eje focal paralelo al eje x que se extiende hacia el lado izquierdo de su centro (origen (0,0)) y su gráfica exacta es:

>	display(asintotas,hiperbola);

Lic. Mat.   Salomón Ching

http://universomath.blogspot.com

http://youtube.com/user/mathsalomon

http://facebook.com/mathsalomon

https://twitter.com/MathSalomon

>