Tercer Ejercicio de Números Complejos

Este ejercicio lo vi muy pero muy difícil, no trae gráficos pero si tuve que usar un artificio ingenioso para hallar las variables x,y en términos u,v sobre todo porque manejaba ecuaciones que incluían expresiones algebraicas racionales fraccionarias. Finalmente con maple se pudo hacer el tedioso trabajo de la manipulación simbólica u operaciones algebraicas. Aqui esta el link de la pagina original por si no les carga los símbolos.

Ejerc 5 [pag 4]

Expresar x  e y   en términos de u  y v   si:

Solución

De la ecuación tenemos:

=>      

al lado izquierdo (LI) le multiplicamos por su conjugada:

>

note que en maple la unidad imaginaria se denota por I

En el lado derecho (LD) tenemos:

>

a éste tambien le multiplicamos por su conjugada:

>

la ecuación es:

>

LI=LD;

separando las partes reales e imaginarias:

>	(x/(x^2+y^2)-y*I/(x^2+y^2))=(u^2+v^2-u)/(u^2+v^2)+(v*I)/(u^2+v^2);

Ahora comparando la igual dad deducimos que:

>	x/(x^2+y^2)=(u^2+v^2-u)/(u^2+v^2);

de la parte real

y ademas:

>	-y/(x^2+y^2) = v/(u^2+v^2);

la unidad imaginaria I  se eliminó

De modo que ahora tenemos 2 ecuaciones:

  ... (1)

  ...(2)

Asumiendo que  podemos dividir (1) entre (2) y así eliminar los términos cuadráticos de los denominadores, y obtenemos:

>	x/y=(u^2+v^2-u)/v;

Despejamos x :

>	x = y*(u^2+v^2-u)/v;

Y le llamamos a ésta la ecuación Nº 3:

  ... (3)

y reemplazamos (3) en la ecuación (2). [ en la (1)  no porque es más grande ]

>	-y/((y*(u^2+v^2-u)/v)^2+y^2) = v/(u^2+v^2);

>	simplify(%);

Despejamos y

>	y=solve(%,y);

Hemos obtenido a y  en función de u  y v      ...   :)

Ahora reemplazamos y en la ecuación (3):

>	y := -v/(u^2-2*u+v^2+1): # asignamos a y su valor x = y*(u^2+v^2-u)/v; # y la reemplazamos en (3)

Por tanto los valores solicitados son:

     ;       

Lic. Mat.   Salomón Ching