Segundo ejercicio resuelto sobre gráficas de números complejos

El desarrollo de éste ejercicio es similar al del artículo anterior de este sitio. He tratado de resumirlo pero aquí lo interesante es que me encontré con caso de una cónica degradada puesto que la gráfica que aparentemente era el de una hoja de hiperbola me arrojó que era una semirecta. Vean el ejercicio en este enlace si es que no loe pueden apreciar bien esta entrada del blog. No olviden comentar.

Ejerc 7 - b) [pag 3]

Que lugar describe el número   cuando satisface la ecuación

    

Solución

Reemplazando 

        

->    

->      = 2

->      = 2   [ la hiperbola se extiende paralela al eje x  ]

->      = 2        

->        ;      ;      

->   C =     = (  ) = (  ) = ( h ,  k )  es el centro.

->  C = ( h ,  k ) = (  )

->      =   = 1

->    

>	with(plots): pointplot({[1,0],[0,0]},color=blue,symbol=box,tickmarks=[2,4]);

El gráfico de arriba muestra al centro   y al vértice   

en los cuales claramente se ve que   =1

-> 

->   

>	V[1]=(h-1,k); V[2]=(h+1,k); V[1]=(1-1,0); V[2]=(1+1,0);

Arriba escribí el código maple para

calcular las coordenadas de los vértices

->        ;      ;   donde: C = ( h ,  k ) = (  )

->       ;   

El semieje eje b :

No hay semieje mayor, por tanto se trata de una hipérbola degradada  a una porcion de recta contenida en el eje x  puesto que los focos están en dicho eje, y decimos que está en el eje x  puesto que los focos estan justamente ahí.

Reemplacemos son los vértices en la ecuacion de la hiperbola   = 2

    ;     para averiguar a que lado de su centro   se extiende:

*)  para 

         = 2

->     = 2

->       (lo verifica)

*)  para 

       = 2

->   = 2

->     (no lo verifica)

Como   está a la izquierda de   deducimos que la hiperbola se extiende desde (0,0) hacia cualquier punto de la forma ( x, 0) con  , es decir la ecuación describe el intervalo <  ]

RESPUESTA:

  = 2   

está dada por el conjunto:

<  ]

COMPROBACIÓN NUMÉRICA:

>	F:=(x,y)->sqrt((x-2)^2+y^2)-sqrt(x^2+y^2): #ahi defino una funcion de (x,y) F(0,0);F(-1,0);F(-2,0);F(-3,0);F(-4,0); # aqui calculo unos valores

definimos una funcion de 2 variables igual como el lado derecho de la ecuación, y vimos que sustituyendo cualquier punto de <  ]  se obtine 2, lo que comprueba nuestra conlusión. Que bella es la matemática! :D

COMPROBACIÓN GRÁFICA

>	implicitplot(F(x,y)=2,x=-3..5,y=-5..5,numpoints=100000,scaling=constrained,thickness=2);

El software tiene sus limitaciones pero hace una buena aproximación a la verdadera gráfica. El cero que apreciamos a lado izquierdo es por el origen del eje y que siempre lo traslada a esa altura en x , al carecer de ancho el gráfico, no lo muestra. Bueno la gráfica se puede mejorar agregando más parámetros que aún no los estudio pero con lo iré mejorando.

Vamos a poner 1.9 y luego 1.99 en vez de 2 en el lado derecho de la ecuación:

>	implicitplot({F(x,y)=1.9,F(x,y)=1.99},x=-3..5,y=-5..5,numpoints=100000,scaling=constrained,thickness=2);

Lo que indica que mientras más nos acercamos a 2 la ecuacion muestra la hoja izquierda de la hiperbola mas pegada al eje x negativo o sea el intervalo

<  ]

FIN

Lic. Mat.   Salomón Ching

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